Optimiser les transports avec un film de savon

Introduction

Un film de savon a la propriété qu'il tend à minimiser autant que possible sa surface. C'est pour cette raison que les bulles de savon tendent vers une forme sphérique, car c'est la surface minimale qui permet d'enfermer un volume fixé d'air. L'expérience ci-dessous est une application de cette propriété à la résolution d'un problème très complexe à résoudre théoriquement: comment relier de manière optimale plusieurs villes par des transports.

L'expérience consiste à construire un cadre avec deux plaques de plexiglas en regard entre lesquelles un film de savon va pouvoir être piégé. Des points de raccord entre les deux plaques indiquent la présence d'une ville et représente une contrainte dans le problème d'optimisation: le film de savon doit nécessairement passer par ces points.

Construction du cadre

Le but est d'obtenir un dispositif comme celui-ci:

• Imprime sur une feuille A4 la carte de la France: PDF (22,6 ko). Les villes représentées correspondent aux sept plus grandes unités urbaines de France.

• Empile la feuille et les deux plaques de plexiglas et scotche-les ensemble.

• Avec le marqueur, reproduis le contour de la France sur la plaque du dessus:

• Avec la perceuse, perce des trous de la taille des boulons à l'endroit des villes de Lille, Bordeaux et Nice.

• Perce des trous d'un diamètre de 2 mm maximum à l'emplacement des villes restantes.

• Enlève le scotch et la feuille A4.

• Sur la plaque avant (celle avec le dessin de la France), insère les boulons dans les trous des villes de Lille, Bordeaux et Nice. Fixe chaque boulon avec un écrou.

• Il doit alors rester une longueur d'environ deux centimètres sur chaque boulon. Pour chacun d'entre-eux, insère un écrou à mi-chemin environ. Place la deuxième plaque de plexiglas par dessus et fixe-là avec les écrous restants. Les trois points d'attache doivent ressembler à ceci (j'ai mis des rondelles en plus, mais ce n'est pas nécessaire):

• Découpe quatre morceaux de 8 cm environ de fil à coudre. Insère-les dans les petits trous restants de manière à ce que chacun traverse les deux plaques.

• Pose le cadre avec la face arrière sur le dessus et applique un point de colle sur chaque petit trou pour fixer le fil. Attends que la colle durcisse.

• Retourne le cadre et fais de même avec les trous restants de la face avant. Il faut veiller à ce que les fils restent tendus entre les deux plaques pendant le durcissement de la colle. Pour cela retourne le cadre pour avoir les points de colle en cours de durcissement vers le bas et place-le sur les deux supports. Fixe les pinces à linge sur les fils et laisse-les pendre au fil, de manière à imposer une tension comme ci-dessous:

• Quand la colle a durci, coupe les extrémités de fil qui dépassent. Le cadre est terminé!

Expérience de films de savon

L'expérience est plus rapide que la fabrication du cadre:

• Remplis un lavabo d'eau

• Verse un filet de liquide vaisselle entre les deux plaques de plexiglas (cela permet d'utiliser moins de liquide vaisselle que s'il avait été ajouté dans le lavabo directement).

• Plonge le dispositif dans l'eau et sors-le lentement en le gardant incliné, voire verticalement. Un film de savon devrait se former.

• Une fois entièrement sorti de l'eau attends quelques secondes en plaçant le cadre à l'horizontale. Lorsque le film arrête de se déformer, c'est qu'il a trouvé une configuration minimisant sa surface. Les lignes dessinées par le film indiquent un tracé optimal des connexions entre villes qui minimise la longueur des routes ou rails.

• Répète l'expérience plusieurs fois en modifiant l'orientation du cadre lorsque tu le sors de l'eau. Curieusement, il est possible d'obtenir différentes configurations, telles que celles ci-dessous. Cela signifie que le film de savon ne minimise pas toujours correctement la taille du film.

Analyse des réseaux trouvés

Comparaison des films de savon avec les réseaux de transports réels

Lignes TGV

On peut comparer le réseau de longueur la plus faible trouvé (1,81; image de gauche dans la figure précédente) avec les lignes de TGV réelles:

Le film de savon prédit cinq trajets simples (c'est-à-dire reliant deux villes par un unique segment). Tous ces trajets ont une ligne TGV correspondante plus ou moins droite. Le plus intéressant est le tracé plus complexe qui relie les villes de Lyon, Toulouse et Marseille. Trois segments se touchent en un point entre les trois villes. Là encore, les lignes de TGV suivent un tracé similaire, le point central étant vers Nîmes. Le point central trouvé par le film de savon est un peu différent, mais il ne tient pas compte de l'existence du massif central, difficile à franchir pour un train, ni de l'existence de la ville de Nîmes dont les habitants sont (surement) contents d'avoir une gare.

Autoroutes

Le réseau savonneux peut aussi être comparé aux autoroutes de France. Les conclusions sont globalement les mêmes qu'avec les lignes de TGV.

Quelques précisions

Pourquoi trouve-t-on dans l'expérience différentes configurations?

La règle souvent énoncée est qu'un film de savon minimise sa surface totale. Si c'était le cas, on ne devrait pas pouvoir trouver différentes configurations finales (sauf si elles ont exactement la même longueur).

En réalité, la forme finale du film dépend de sa forme initiale. En partant d'une forme initiale quelconque, le film va changer sa forme par petits pas. Avant de faire chaque pas, le système va évaluer les longueurs des configurations proches (uniquement) et choisir le pas dans la direction de la configuration proche de longueur la plus faible. Au bout d'un moment, le film va trouver que faire un pas dans n'importe quelle direction (dans l'espace des configurations possibles) va augmenter la longueur du film comparé à s'il ne faisait pas de pas. C'est à ce moment que le film atteint sa forme finale. Or, avec cette méthode d'exploration, le film ne teste pas toutes les configurations possibles. On n'atteint donc pas forcément la configuration de surface minimale. En physique, on dit que le film trouve un minimum local du potentiel qui le décrit. Et ce minimum local n'est pas toujours le minimum global que l'on recherche.

Pourquoi utiliser du fil à coudre pour certains trous?

En mettant des boulons sur toutes les villes, la forme cylindrique de quelques millimètres de diamètre crée des "barrières" difficiles à franchir par un film en mouvement. En particulier, lors de l'évolution du film, des nœuds joignant trois segments se forment et se déplacent. Lorsqu'un tel nœud atteint une ville avec un boulon, il s'y arrête, ce qui empêche le film d'explorer certaines configurations. Avec le fil à coudre, le problème ne se pose pas car les nœuds arrivent à continuer leur chemin après la traversée d'une ville. Évidemment, il faut quand même garder quelques boulons pour maintenir les plaques en place.