Mesurer l'épaisseur d'un cheveu par diffraction laser

Introduction

Cette page explique comment mesurer, à la maison l'épaisseur de très petits filaments comme des cheveux. La méthode utilise le phénomène de diffraction de la lumière, qui peut être généré par un pointeur laser. Ainsi, il est possible de mesurer des épaisseurs allant typiquement de 1 μm à 1 mm.

Expérience

Montage de diffraction

Le but est d'éclairer un cheveu avec un pointeur laser et d'observer la lumière qui émerge derrière le cheveu sur un écran (une feuille de papier). Comme le faisceau du pointeur est très fin (quelques millimètres de diamètre), l'alignement du cheveu par rapport au laser doit être très précis, et il est pratique d'utiliser des supports en carton pour bien positionner le laser et le cheveu.

Le montage ressemble à ceci:

Pour réaliser les supports du laser, découpe deux carrés de carton d'environ d'environ 5 cm de côté. Plie-les en deux pour faire des supports et découpe une encoche comme ci-dessous pour pouvoir y poser le laser dessus de manière stable. Sur la table, les deux supports du laser peuvent être maintenus avec de la patafix s'ils ont tendance à glisser.

Pour le support du cheveu, découpe un morceau de la même façon, mais sans encoche. Fixe le cheveu avec un morceau de scotch de manière à ce que le cheveu soit partiellement au-dessus du support et vertical:

Oriente le laser sur les supports pour qu'il illumine un mur à au moins 1 m de distance. Utilise l'élastique pour maintenir le bouton du laser en position "allumée", tout en faisant attention à ne pas regarder directement le faisceau. Si le mur est sombre, accroche une feuille de papier pour servir d'écran.

Enfin, place le cheveu sur le chemin du laser de manière à ce que la distance entre celui-ci et le mur soit d'environ 1 m. Quand le faisceau éclaire le cheveu, l'ombre sur l'écran doit prendre une forme étrange avec plusieurs taches le long d'une ligne, comme sur la photo ci-dessous. La position des taches dépend de la taille du cheveu. On va donc s'en servir pour faire une mesure indirecte du diamètre du cheveu.

Mesures et analyse

Pour les mesures et les calculs, il est plus simple d'utiliser la position sur l'écran des zones noires entre les taches, plutôt que les taches elles-mêmes. Ces "zéros d'intensité" correspondent à des positions où la lumière provenant de la droite et de la gauche du cheveu interfère de manière destructive. Le phénomène de diffraction est en effet dû au fait que la lumière est une onde, ce qui signifie notamment que pour les calculs, il faudra utiliser la valeur de la longueur d'onde du laser.

Deux méthodes de mesures sont décrites ci-dessous. La première est la plus rapide, tandis que la deuxième est la plus précise.

Méthode 1

Le motif de diffraction sur l'écran est symétrique par rapport à une tache centrale environ deux fois plus grande que les taches secondaires (voir la figure ci-dessus). Les zéros d'intensités de part et d'autre de la tache centrale sont espacés d'une distance $X_1$. Pour les taches suivantes, les distances $X_2$, $X_3$, etc. sont définies comme indiqué sur la figure.

Mesure la distance $X_n$ (avec $n$ un nombre entier) la plus grande que tu puisses. Les premières taches en partant du centre sont faciles à visualiser, mais comme elles correspondent à des distances faibles, la mesure ne serait pas très précise. Plus les taches sont lointaines, moins elles sont lumineuses et il devient donc difficile d'identifier les zéros d'intensité. Le mieux est donc de mesurer la distance $X_n$ avec $n$ le plus grand possible, mais visualisable. Il peut être utile de travailler dans une pièce sombre pour mieux voir les taches lointaines.

Note la distance $X_n$ que tu viens de mesurer et l'indice $n$ correspondant au zéro d'intensité que tu as choisis. Le diamètre $d$ du cheveu est alors donné par la formule

$$d = \frac{2 n \, \lambda L}{X_n}$$

avec $\lambda$ la longueur d'onde du laser et $L$ la distance entre le cheveu et l'écran, que tu peux mesurer avec le mètre ruban. Pour $\lambda$, si la longueur d'onde n'est pas indiquée sur le pointeur, prends 650 nm pour un laser rouge et 532 nm pour un laser vert. Fais attention aux unités des différentes quantités lors du calcul!

Par exemple, pour un des cheveux que j'ai mesurés, la distance entre le sixième zéro d'intensité à gauche et le sixième zéro à droite était de $X_6 = 11,\!3\,\text{cm}$ pour un laser rouge et pour $L = 1,\!00\,\text{m}$, ce qui donne un diamètre de cheveu de 69 μm avec la formule ci-dessus.

Méthode 2

Dans cette méthode, plusieurs mesures vont être effectuées pour améliorer la précision sur le diamètre du cheveu. L'idée est de mesurer la position de tous les zéros d'intensité identifiables (c'est-à-dire jusqu'au plus loin possible du centre, jusqu'à ce que les taches ne soient plus visibles). Les distances sont ici mesurées par rapport au centre de la grosse tache.

Mesure avec la règle les distances appelées $x_1$, $x_{-1}$, $x_2$, $x_{-2}$... et regroupe les données dans un tableau. Pour les indices $n$ négatifs, rentre les distances comme étant négatives également. J'ai moi-même obtenu les valeurs suivantes:

Ensuite, trace sur un graphe $x_n$ en fonction de $n$. Avec la règle, trace une droite telle qu'elle passe le plus près de tous les points:

La relation entre $x_n$ et $n$ est alors

$$x_n = \frac{n \, \lambda L}{d}$$

Mesure la pente de la droite sur le graphe. En la notant $\alpha$, le diamètre du cheveu s'écrit:

$$d = \frac{\lambda L}{\alpha}$$

Avec les données ci-dessus, je trouve une pente de 0.858 cm par zéro d'intensité, et donc un diamètre de cheveu de 76 μm (pour un cheveu différent de celui de la méthode 1).

Conclusion

La diffraction de la lumière permet de mesurer indirectement, avec une règle graduée, de très petites tailles. L'expérience ici a été faite avec un cheveu, mais elle marche très bien aussi avec d'autres filaments. Selon les échantillons les taches peuvent être trop espacées ou pas assez. La distance entre l'échantillon et l'écran peut alors être modifiée pour rendre les mesures plus faciles.

Pour terminer, en regardant les images ci-dessous obtenues pour deux cheveux différents dans les même conditions, es-tu capable de déterminer lequel est le plus épais?

Réponse: Le cheveu de gauche est plus fin que celui de droite car ses taches de diffraction sont plus espacées. Cette dépendance se voit par exemple sur la formule de $d$ pour la méthode 1. Dans cette formule, pour un $n$ donné, quand $X_n$ est plus grand, $d$ est plus petit.